Skip to main content

ลอการิทึมกำลังขยายอะไร?

สมการจำนวนมากสามารถทำให้ง่ายขึ้นโดยการขยายลอการิทึมคำว่าการขยายลอการิทึมไม่ได้อ้างถึงลอการิทึมที่ขยาย แต่เป็นกระบวนการที่การแสดงออกทางคณิตศาสตร์หนึ่งถูกแทนที่ด้วยกฎเฉพาะตามกฎเฉพาะมีสามกฎดังกล่าวแต่ละคนสอดคล้องกับคุณสมบัติเฉพาะของเลขชี้กำลังเนื่องจากการใช้ลอการิทึมเป็นผลการทำงานของการยกระดับ: บันทึก 3 (9) ' 2 เพราะ 3 2 ' 9.

กฎทั่วไปสำหรับการขยายลอการิทึมใช้ผลิตภัณฑ์แยกต่างหากลอการิทึมของผลิตภัณฑ์คือผลรวมของลอการิทึมที่เกี่ยวข้อง: บันทึก a ( x*y ) ' log a ( x ) + log a (y)สมการนี้มาจากสูตร a x * a y ' a x+y มันสามารถขยายไปถึงปัจจัยหลายอย่าง: บันทึก a ( x*y*z*w ) ' log a ( x ) + บันทึก a ( y ) +บันทึก a ( z ) + log a ( w )

การเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังงานเชิงลบเทียบเท่ากับการเพิ่มซึ่งกันและกันเป็นพลังงานบวก: 5 -2 '(1/5) 2 ' 1/25คุณสมบัติที่เทียบเท่าสำหรับลอการิทึมคือบันทึก a (1/ x ) ' -log a ( x )เมื่อคุณสมบัตินี้รวมกับกฎของผลิตภัณฑ์จะมีกฎหมายสำหรับการใช้ลอการิทึมของอัตราส่วน: บันทึก a ( x / y ) ' log a ( x ) -บันทึก a ( y )

กฎสุดท้ายสำหรับการขยายลอการิทึมเกี่ยวข้องกับลอการิทึมของจำนวนที่ยกขึ้นสู่อำนาจการใช้กฎผลิตภัณฑ์เราพบว่าบันทึก a ( x 2 ) ' log a ( x ) + บันทึก a ( x ) ' 2*บันทึก a ( x )ในทำนองเดียวกันบันทึก a ( x 3 ) ' log a ( x ) + log a ( x ) + log a ( x) ' 3*บันทึก a ( x )โดยทั่วไปบันทึก a ( x n ) ' n *log a ( x ) แม้ว่า n จะไม่ใช่จำนวนทั้งหมด

เหล่านี้กฎสามารถรวมกันเพื่อขยายการแสดงออกของบันทึกที่ซับซ้อนมากขึ้นตัวอย่างเช่นเราสามารถใช้กฎที่สองเพื่อบันทึก

a ( x 2 y / z ) ได้รับบันทึกนิพจน์ a ( x 2 y) - บันทึก a (z)จากนั้นกฎข้อแรกสามารถนำไปใช้กับเทอมแรกให้บันทึก a ( x 2 ) + log a ( y ) - บันทึก a ( z ).สุดท้ายการใช้กฎข้อที่สามนำไปสู่นิพจน์ 2*บันทึก a ( x ) + บันทึก a ( y ) - บันทึก a ( z ).การขยายลอการิทึมช่วยให้สามารถแก้ไขสมการจำนวนมากได้อย่างรวดเร็วตัวอย่างเช่นบางคนอาจเปิดบัญชีออมทรัพย์ด้วย $ 400 ดอลลาร์สหรัฐหากบัญชีจ่ายดอกเบี้ย 2 เปอร์เซ็นต์ต่อปีประกอบรายเดือนจำนวนเดือนที่ต้องใช้ก่อนที่บัญชีจะเพิ่มมูลค่าเป็นสองเท่าของสมการ 400*(1 + 0.02/12)

M ' 800 หารด้วย 400 อัตราผลตอบแทน (1 + 0.02/12) M ' 2. การใช้ลอการิทึมฐาน -10 ของทั้งสองฝ่ายสร้างบันทึกสมการ 10 (1 + 0.02/12) m ' บันทึก 10 (2). สมการนี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้กฎพลังงานเป็น m *บันทึก

10

(1 + 0.02/12) ' บันทึก 10 (2)การใช้เครื่องคิดเลขเพื่อค้นหาลอการิทึมให้ผลผลิต M *(0.00072322) ' 0.30102หนึ่งพบว่าเมื่อแก้ปัญหา m ว่าจะใช้เวลา 417 เดือนสำหรับบัญชีที่จะเพิ่มมูลค่าเป็นสองเท่าหากไม่มีเงินเพิ่มเติมถูกฝาก