จุดผันคืออะไร?

จุดติดเชื้อเป็นแนวคิดที่สำคัญในแคลคูลัสที่แตกต่างกันเมื่อถึงจุดของการผันเส้นโค้งของฟังก์ชั่นจะเปลี่ยนความเว้า mdash;กล่าวอีกนัยหนึ่งมันเปลี่ยนจากความโค้งเชิงลบเป็นความโค้งเชิงบวกหรือในทางกลับกันจุดนี้สามารถกำหนดหรือมองเห็นได้ในรูปแบบที่แตกต่างกันในแอพพลิเคชั่นในโลกแห่งความเป็นจริงที่ระบบถูกสร้างแบบจำลองโดยใช้เส้นโค้งการค้นหาจุดติดเชื้อมักจะมีความสำคัญในการคาดการณ์พฤติกรรมของระบบ

ฟังก์ชั่นในแคลคูลัสสามารถถูกกราฟบนระนาบที่ประกอบด้วยแกน x และ y เรียกว่าคาร์ทีเซียนเครื่องบิน.ในฟังก์ชั่นใด ๆ ค่า x หรือค่าที่เป็นอินพุตลงในสมการจะสร้างเอาต์พุตแสดงโดยค่า yเมื่อมีกราฟค่าเหล่านี้จะเป็นเส้นโค้ง

เส้นโค้งสามารถเว้าขึ้นไปข้างบนหรือเว้าลงไปขึ้นอยู่กับพฤติกรรมของฟังก์ชันมากกว่าค่าที่แน่นอนพื้นที่เว้าขึ้นไปด้านบนปรากฏบนกราฟเป็นเส้นโค้งเหมือนชามที่เปิดขึ้นในขณะที่เว้าลงไปด้านล่างของภูมิภาคจะเปิดลงจุดที่การเปลี่ยนแปลงเว้านี้คือจุดผันแปร

มีวิธีการที่แตกต่างกันเล็กน้อยซึ่งอาจเป็นประโยชน์ในการมองเห็นจุดที่จุดติดเชื้ออยู่บนเส้นโค้งหากมีใครจะวางจุดบนเส้นโค้งด้วยเส้นตรงที่วาดผ่านมันเพียงแค่สัมผัสเส้นโค้ง mdash;เส้นสัมผัส mdash;และวิ่งไปตามจุดนั้นไปตามเส้นทางของเส้นโค้งจุดผันจะเกิดขึ้น ณ จุดที่แน่นอนซึ่งเส้นสัมผัสข้ามเส้นโค้ง

ทางคณิตศาสตร์จุดของการผันเป็นจุดที่เครื่องหมายการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์ครั้งที่สองอนุพันธ์ครั้งแรกของฟังก์ชั่นวัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันเป็นการเปลี่ยนแปลงอินพุตและอนุพันธ์ที่สองวัดว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงนี้อาจเปลี่ยนแปลงได้อย่างไรตัวอย่างเช่นความเร็วของรถยนต์ในช่วงเวลาที่กำหนดจะแสดงโดยอนุพันธ์แรก แต่การเร่งความเร็ว mdash;เพิ่มหรือลดความเร็ว mdash;แสดงโดยอนุพันธ์ที่สองหากรถเร่งความเร็วขึ้นอนุพันธ์ที่สองของมันจะเป็นบวก แต่ ณ จุดที่มันหยุดเร่งความเร็วและเริ่มช้าลงการเร่งความเร็วและอนุพันธ์ที่สองของมันกลายเป็นลบนี่คือจุดของการผัน

เพื่อให้เห็นภาพกราฟิกนี้เป็นสิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้ว่าการเว้าของเส้นโค้งของฟังก์ชั่นนั้นแสดงโดยอนุพันธ์ที่สองอนุพันธ์ที่สองในเชิงบวกบ่งบอกถึงเส้นโค้งขึ้นเว้าขึ้นและอนุพันธ์ที่สองติดลบหมายถึงเส้นโค้งที่เว้าลงเป็นการยากที่จะระบุจุดที่แน่นอนของการผันบนกราฟดังนั้นสำหรับแอปพลิเคชันที่จำเป็นต้องทราบค่าที่แน่นอนจุดผันสามารถแก้ไขได้สำหรับคณิตศาสตร์

วิธีหนึ่งในการค้นหาจุดผันของฟังก์ชั่นคือการใช้มันอนุพันธ์อันดับสองตั้งค่าเท่ากับศูนย์และแก้ปัญหาสำหรับ xไม่ใช่ทุกค่าศูนย์ในวิธีนี้จะเป็นจุดเปลี่ยนดังนั้นจึงจำเป็นต้องทดสอบค่าทั้งสองด้านของ x ' 0 เพื่อให้แน่ใจว่าสัญญาณของอนุพันธ์ที่สองมีการเปลี่ยนแปลงจริงถ้าเป็นเช่นนั้นค่าที่ x คือจุดผัน